Individual-based models under various time-scales

Aix-Marseille Universite, CNRS, Centrale Marseille, I2M, UMR 7373 13453 Marseille, France
email : aurelien.velleret@univ-amu.fr

Abstract

This article is a presentation of specific recent results describing scaling limits of individual- based models. Thanks to them, we wish to relate the time-scales typical of demographic dynamics and natural selection to the parameters of the individual-based models. Although these results are by no means exhaustive, both on the mathematical and the biological level, they complement each other. Indeed, they provide a viewpoint for many classical time-scales. Namely, they encompass the timescale typical of the life-expectancy of a single individual, the longer one wherein a population can be characterized through its demographic dynamics, and at least four interconnected ones wherein selection occurs. The limiting behavior is generally deterministic. Yet, since there are selective effects on randomness in the history of lineages, probability theory is shown to be a key factor in understanding the results. Besides, randomness can be maintained in the limiting dynamics, for instance to model rare mutations fixing in the population.

Résumé

Les résultats récents présentés dans cet article décrivent des limites d’échelles de modèles individus-centrés. Grâce à eux, nous allons mettre en lumière les différentes échelles de temps caractéristiques des variations démographiques et de la sélection naturelle. L’objectif n’est pas d’être exhaustif, tant au niveau mathématique que biologique. Néanmoins, ces résultats sont très complémentaires les uns des autres. Ils fournissent un aperçu des principales échelles de temps d’intérêt. Ils englobent notamment l’échelle de temps de la vie d’un individu, celle plus longue où la population peut être décrite comme une entité avec ses caractéristiques propres qui dirigent les dynamiques démographiques, et au moins quatre autres échelles imbriquées sur lesquelles la sélection joue un rôle. La dynamique limite est généralement déterministe. Pour autant, puisque l’action de la sélection se base sur l’aléa présent dans l’histoire des individus, les probabilités apparaissent comme un élément clé pour comprendre ces résultats. Par ailleurs, la stochasticité peut aussi être conservée à la limite, par exemple pour modéliser de rares événements de fixation de mutations.