Stability theory for some scalar finite difference schemes: validity of the modified equations approach^*

¹ Université Paul Sabatier, Institut de Mathématiques de Toulouse .
e-mail : dhaouadi@insa-toulouse.fr
² Université Grenoble Alpes, Laboratoire Jean Kuntzmann .
e-mail: emilie.duval@inria.fr
³ Aix-Marseille Université, CNRS, IUSTI, UMR 7343 .
e-mail: sergey.tkachenko@univ-amu.fr
⁴ Institut de Mathématiques de Toulouse, INSA Toulouse .
e-mail: vila@insa-toulouse.fr

Abstract

In this paper, we discuss some limitations of the modified equations approach as a tool for stability analysis for a class of explicit linear schemes to scalar partial differential equations. We show that the infinite series obtained by Fourier transform of the modified equation is not always convergent and that in the case of divergence, it becomes unrelated to the scheme. Based on these results, we explain when the stability analysis of a given truncation of a modified equation may yield a reasonable estimation of a stability condition for the associated scheme. We illustrate our analysis by some examples of schemes namely for the heat equation and the transport equation.

Résumé

Dans ce papier, nous examinons quelques limites des équations modifiées, comme outil pour l’analyse de la stabilité d’une certaine classe de schémas numériques explicites linéaires pour des équations aux dérivées partielles scalaires. Nous montrons que la série obtenue par transformée de Fourier de l’équation modifiée n’est pas toujours convergente et que dans ce cas, son comportement n’est plus lié à celui du schéma. A partir de ces résultas, nous expliquons quand l’analyse de stabilité d’une troncature donnée peut donner des conditions de stabilité raisonnables. Cette analyse est illustrée par quelques exemples, notamment des schémas pour l’équation de la chaleur et pour l’équation de transport.