Machine learning and optimal transport: some statistical and algorithmic tools^*

CNRS, IRIT, Université de Toulouse

Abstract

In this paper, we focus on the analysis of data that can be described by probability measures supported on a Euclidean space, by way of optimal transport. Our main objective is to present a first and second order statistical analyses in the space of distributions in a concise manner, as a first approach to understand the general modes of variation of a set of observations. In the context of optimal transport, these studies correspond to the barycenter and the decomposition into geodesic principal components in theWasserstein space. In particular, we aim attention at a regularised estimator of the barycenter, in order to handle the noise coming from the observations. Additionally, we leverage these tools for time series analysis, whose spectral informations are compared using optimal transport.

Résumé

Dans cet article, nous nous concentrons sur l’analyse de données pouvant être décrites par des mesures de probabilité supportées sur un espace Euclidien, au moyen du transport optimal. Notre objectif principal est de présenter de manière concise l’analyse statistique de premier et second ordre dans l’espace des distributions comme une première approche pour comprendre les tendances générales d’un ensemble d’observations. Dans le contexte du transport optimal, ces études correspondent au barycentre et à la décomposition en composantes géodésiques principales dans l’espace de Wasserstein. Notamment, nous nous intéressons à un estimateur régularisé du barycentre, afin de gérer le bruit provenant des observations. Par ailleurs, nous exploitons ces outils pour l’analyse des séries temporelles, dont les informations spectrales sont comparées à l’aide du transport optimal.