Recent advances in the long-time analysis of killed degenerate processes and their particle approximation

¹ MISTEA, Université Montpellier, INRAE, Institut Agro, Montpellier, France
² LJLL, Sorbonne Université, Paris
³ LJLL and LCT, Sorbonne Université, Paris
⁴ LMBP, Université Clermont Auvergne
⁵ CERMICS, Ecole des Ponts, Marne-la-Vallée, France

Abstract

We review some recent results of quantitative long-time convergence for the law of a killed Markov process conditioned to survival toward a quasi-stationary distribution, and on the analogous question for the particle systems used in practice to sample these distributions. With respect to the existing literature, one of the novelties of these works is the degeneracy of the underlying process with respect to classical elliptic diffusion, namely it can be a non-elliptic hypoelliptic diffusion, a piecewise deterministic Markov process or an Euler numerical scheme.

Résumé

Nous présentons quelques résultats récents d’estimées quantitatives de convergence en temps long pour la loi de processus de Markov tués, conditionnellement à leur survie, vers une mesure quasi-stationnaire, et sur la question analogue pour les systèmes de particules utilisés en pratique pour échantillonner ces mesures. Par rapport à la littérature antérieure, l’une des nouveautés de ces travaux est le caractère dégénéré du processus de Markov sous-jacent par rapport aux diffusions elliptiques classiques, au sens où ce peut être une diffusion hypoelliptique non-elliptique, un processus déterministe par morceaux, ou un schéma d’Euler.