Stability and instability of the quasilinear Gross-Pitaevskii dark solitons^*,**

Univ. Lille, CNRS, Inria, UMR 8524 - Laboratoire Paul Painlevé, Inria, F-59000 Lille, France

^＊ e-mail: erwan.lequiniou@univ-lille.fr

Abstract

We study a quasilinear Schrödinger equation with nonzero conditions at infinity. In previous works, we obtained a continuous branch of traveling waves, given by dark solitons indexed by their speed. Neglecting the quasilinear term, one recovers the Gross-Pitaevskii equation, for which the branch of dark solitons is stable. Moreover, Z. Lin showed that the Vakhitov-Kolokolov (VK) stability criterion (in terms of the momentum of solitons) holds for general semilinear equations with nonvanishing conditions at infinity.

In the quasilinear case, we prove that the VK stability criterion still applies, by generalizing Lin’s arguments. Therefore, we deduce that the branch of dark solitons is stable for weak quasilinear interactions. For stronger quasilinear interactions, a cusp appears in the energy-momentum diagram, implying the stability of fast waves and the instability of slow waves.

Résumé

Nous étudions une équation de Schrödinger quasilinéaire avec des conditions non nulles à l’infini. Lors de travaux antérieurs, nous avons obtenu une branche continue d’ondes progressives, donnée par des solitons sombres indexés par leur vitesse de propagation. En négligeant le terme quasilinéaire on retrouve l’équation de Gross-Pitaevskii pour laquelle la branche de solitons sombre est stable. De plus, Z. Lin a démontré que le critère de stabilité de Vakhitov-Kolokolov (VK) (en termes du moment des solitons) s’applique à une large classe d’équations semilinéaires avec conditions non-nulles à l’infini.

Dans le cas quasilinéaire, nous démontrons que le critère de stabilité VK s’applique toujours, en généralisant les arguments de Lin. Nous en déduisons que la branche de solitons sombre est stable pour des interactions quasilinéaires faibles. Pour des interaction quasilinéaires plus fortes, un point de rebroussement apparait sur le diagramme énergie-moment impliquant la stabilité des ondes rapides et l’instabilité des ondes lentes.