Introduction aux équations aux dérivées partielles stochastiques

Fédération de Mathématiques de CentraleSupélec, CNRS FR3487, Université Paris-Saclay, France

e-mail: goudenege@math.cnrs.fr

Résumé

Le but de ces notes de cours est relativement simple, il s’agit de montrer comment aborder les équations aux dérivées partielles stochastiques en tant qu’objet infini-dimensionnel dérivant d’un système d’équations différentielles stochastiques en démarrant avec des notions simples sur la modélisation de perturbations aléatoires dans un système physique.

Ces notes n’ont pas la prétention d’être exhaustives sur le domaine, ni même novatrices, mais simplement de donner les premières idées nécessaires à la manipulation des objets impliqués, sans demander non plus trop de pré-requis. Certaines démonstrations ou points techniques sont donc laissés de côté afin de ne pas perturber le fil conducteur. Le lecteur intéressé pourra s’orienter vers les cours de Hairer [5], Pardoux [7], Prévôt et Röckner [8], les livres de Da Prato et Zabczyk [2,3] qui contiennent des détails et extensions, ou encore les notes de Bréhier disponibles sur Hal [1]. Je remercie Charles-Édouard Bréhier pour ses conseils. Des extensions bien plus complexes peuvent être consultées dans [4] ou [6].

Ces notes font suite aux cours d’“Introduction aux équations différentielles et aux équations aux dérivées partielles stochastiques” que j’ai donnés entre 2016 et 2024 à CentraleSupélec. Je remercie les élèves de CentraleSupélec qui ont assisté à mes cours. Ils ont été attentifs et vigilants, m’aidant à corriger plusieurs des erreurs ou imprécisions rencontrées durant les heures passées en classe.