Periodicity of β-expansions for certain Pisot units^*

¹ Departamento de Matemática, University of Beira Interior, Covilhã, Portugal
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² Departamento de Matemática, I.S.T., Av. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal
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Abstract

Given β > 1, let T_β

$\begin{array}{ccc}{\mathit{T}}_{\mathit{\beta }}\mathrm{:}\mathrm{\left[}\mathrm{0}\mathit{,}\mathrm{1}\mathrm{\right[}& \mathrm{\to }& \mathrm{\left[}\mathrm{0}\mathit{,}\mathrm{1}\mathrm{\right[}\\ \mathit{x}& \mathrm{\to }& \mathit{\beta x}\mathrm{-}\mathrm{\lfloor }\mathit{\beta x}\mathrm{\rfloor }\mathit{.}\end{array}$

The iteration of this transformation gives rise to the greedy β-expansion. There has been extensive research on the properties of this expansion and its dependence on the parameter β.

In [17], K. Schmidt analyzed the set of periodic points of T_β, where β is a Pisot number. In an attempt to generalize some of his results, we study, for certain Pisot units, a different expansion that we call linear expansion

$\begin{array}{ccc}\mathit{x}\mathrm{=}\sum _{\mathit{i}\mathrm{\ge }\mathrm{0}}{\mathit{e}}_{\mathit{i}}{\mathit{\beta }}^{\mathrm{-}\mathit{i}}\mathit{,}& & \end{array}$

where each e_i can be superior to  ⌊ β ⌋, its properties and the relation with Per (β).

Résumé

Soit β > 1, considérons T_β

$\begin{array}{ccc}{\mathit{T}}_{\mathit{\beta }}\mathrm{:}\mathrm{\left[}\mathrm{0}\mathit{,}\mathrm{1}\mathrm{\right[}& \mathrm{\to }& \mathrm{\left[}\mathrm{0}\mathit{,}\mathrm{1}\mathrm{\right[}\\ \mathit{x}& \mathrm{\to }& \mathit{\beta x}\mathrm{-}\mathrm{\lfloor }\mathit{\beta x}\mathrm{\rfloor }\mathit{.}\end{array}$

L’itération de cette transformation donne lieu à un développement en série en β. Il y a eu un grand nombre de recherches sur les propriétés de ce développement et de sa dépendance par rapport au paramètre β.

Dans [17], K. Schmidt a analysé l’ensemble des points périodiques de T_β, où β est un nombre de Pisot. Afin de généraliser certains de ces résultats, nous étudions, pour certains nombres de Pisot, un développement différent que nous appelons développement linéaire

$\begin{array}{ccc}\mathit{x}\mathrm{=}\sum _{\mathit{i}\mathrm{\ge }\mathrm{0}}{\mathit{e}}_{\mathit{i}}{\mathit{\beta }}^{\mathrm{-}\mathit{i}}\mathit{,}& & \end{array}$

où chaque e_i peut être supérieur à  ⌊β⌋; nous étudions également ses propriétés et la relation avec Per (β).