Periodicity of β-expansions for certain Pisot units^*

¹ Departamento de Matemática, University of Beira Interior, Covilhã, Portugal
e-mail: svaz@ubi.pt
² Departamento de Matemática, I.S.T., Av. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal
e-mail: pmartins@math.ist.utl.pt

Abstract

Given β > 1, let T_β

The iteration of this transformation gives rise to the greedy β-expansion. There has been extensive research on the properties of this expansion and its dependence on the parameter β.

In [17], K. Schmidt analyzed the set of periodic points of T_β, where β is a Pisot number. In an attempt to generalize some of his results, we study, for certain Pisot units, a different expansion that we call linear expansion

where each e_i can be superior to  ⌊ β ⌋, its properties and the relation with Per (β).

Résumé

Soit β > 1, considérons T_β

L’itération de cette transformation donne lieu à un développement en série en β. Il y a eu un grand nombre de recherches sur les propriétés de ce développement et de sa dépendance par rapport au paramètre β.

Dans [17], K. Schmidt a analysé l’ensemble des points périodiques de T_β, où β est un nombre de Pisot. Afin de généraliser certains de ces résultats, nous étudions, pour certains nombres de Pisot, un développement différent que nous appelons développement linéaire

où chaque e_i peut être supérieur à  ⌊β⌋; nous étudions également ses propriétés et la relation avec Per (β).