On the formal first cocycle equation for iteration groups of type II

Institut für Mathematik, Karl-Franzens-Universität Graz, Heinrichstr. 36/4, A– 8010 Graz, Austria
e-mails: harald.fripertinger@uni-graz.at, ludwig.reich@uni-graz.at

Abstract

Let x be an indeterminate over ℂ. We investigate solutions α_n : ℂ → ℂ, n ≥ 0, of the first cocycle equation in ℂ [[x]], the ring of formal power series over ℂ, where (F(s,x))_s ∈ ℂ is an iteration group of type II, i.e. it is a solution of the translation equation of the form F(s,x) ≡ x + c_k(s)x^k mod x^k+1, where k ≥ 2 and c_k ≠ 0 is necessarily an additive function. It is easy to prove that the coefficient functions α_n(s) of are polynomials in c_k(s).

It is possible to replace this additive function c_k by an indeterminate. Finally, we obtain a formal version of the first cocycle equation in the ring (ℂ [y]) [[x]] . We solve this equation in a completely algebraic way, by deriving formal differential equations or an Aczél–Jabotinsky type equation. This way it is possible to get the structure of the coefficients in great detail which are now polynomials. We prove the universal character of these polynomials depending on certain parameters, the coefficients of the generator K of a formal cocycle for iteration groups of type II. Rewriting the solutions Γ(y,x) of the formal first cocycle equation in the form  ∑_n ≥ 1ψ_n(x)yⁿ as elements of (ℂ [[x]]) [[y]], we obtain explicit formulas for ψ_n in terms of the derivatives H^(j)(x) and K^(j)(x) of the generators H and K and also a representation of Γ(y,x) similar to a Lie–Gröbner series. There are interesting similarities between the solutions G(y,x) of the formal translation equation for iteration groups of type II and the solutions Γ(y,x) of the formal first cocycle equation for iteration groups of type II.

Résumé

Soit x une indéterminée dans ℂ. Nous étudions les solutions α_n : ℂ → ℂ, n ≥ 0, de la première équation de cocycle dans ℂ [[x]], l’anneau des séries entières formelles sur ℂ, où (F(s,x))_s ∈ ℂ est un groupe d’itération de type II, c’est-à-dire une solution de l’équation de translation de la forme F(s, x) ≡ x + c_k(s)x^k mod x^k+1, où k ≥ 2 et c_k ≠ 0 est nécessairement une fonction additive. Il est facile de démontrer que les fonctions coefficients α_n(s) de sont des polynômes dans c_k(s).

Il est possible de remplacer cette fonction addtitive c_k par une indéterminée. Finalement, nous obtenons une version formelle de la première équation de cocycle dans l’anneau (ℂ [y]) [[x]]. Nous résolvons cette équation d’une manière complètement algébrique, en dérivant formellement les équations différentielles ou une équation de type Aczél–Jabotinsky. De cette manière il est possible d’obtenir la structure détaillée des coefficients qui sont maintenant des polynômes. Nous montrons le caractère universel de ces polynômes en fonction de certains paramètres, les coefficients du générateur K d’un cocycle formel pour les groupes d’itération de type II. En réécrivant les solutions Γ(y,x) de la première équation de cocycle sous la forme ∑_n ≥ 1ψ_n(x)yⁿ comme des éléments de (ℂ [[x]]) [[y]], nous obtenons des formules explicites pour ψ_n en terme des dérivées H^(j)(x) et K^(j)(x) des générateurs H et K et également une représentation de Γ(y,x) similaire à une série de Lie–Gröbner. Il y a des similarités intéressantes entre les solutions G(y,x) de l’équation de translation formelle pour les groupes d’itération de type II et les solutions Γ(y,x) de la première équation formelle de cocycle pour les groupes d’itération de type II.