A note on periods of powers^*

¹ Universidad Politécnica de Cartagena, Departamento de Matemática Aplicada y Estadística, Escuela Técnca Superior de Ingenieros Industriales, 30202 Cartagena ( Spain).
email: Jose.Canovas@upct.es
² Universidad de Murcia, Departamento de Matemáticas, Campus de Espinardo, 30100 Murcia ( Spain).
email: lineroba@um.es

Abstract

Let f:X → X be a continuous map defined from a topological space X into itself. We discuss the problem of analyzing and computing explicitly the set Per(f^p) of periods of the p-th iterate f^p from the knowledge of the set Per(f) of periods of f. In the case of interval or circle maps, that is, X = [0,1] or X = S¹, this question was solved in [11]. Now, we present some remarks and advances concerning the set Per(f^p) for a continuous interval map, and on the other hand we study and solve the problem when we consider σ-permutation maps, namely, when X = [0,1] ^k for some integer k ≥ 2 and the map has the form F(x₁,x₂,...,x_k) = (f_σ(1)(x_σ(1)),f_σ(2)(x_σ(2)),...,f_σ(k)(x_σ(k))), being each f_j a continuous interval map and σ a cyclic permutation of {1,2,...,k}. This paper can be seen as the continuation of [11].

Résumé

Soit f:X → X une application continue définie sur une espace topologique X. Nous discutons ici le problème d’analyser et de calculer explicitement l’ensemble Per(f^p) des périodes de la composée f^p, une fois que nous connaissons l’ensemble Per(f) des périodes de f. Quand X = [0,1] ou X = S¹, la question fut résolue à [11]. Maintenant, d’un côté nous présentons quelques remarques et quelques progrès pour le case d’applications de l’intervalle I = [0,1], et d’un autre côté nous étudions et résoudrons le problème quand nous considérons produits directs σ-permutés, c’est-à-dire, applications continues F:I^k → I^k, pour quelque entier k ≥ 2, qui ont la suivante forme F(x₁,x₂,...,x_k) = (f_σ(1)(x_σ(1)),f_σ(2)(x_σ(2)),...,f_σ(k)(x_σ(k))), oùchaque f_j est continue et σ est une permutation cyclique de {1,2,...,k}. Donc, on peut voir cette article comme la continuation naturelle de [11].