On the Douglas-Kazakov phase transition

Weighted potential theory under constraint for probabilists^*

¹ UPMC, Université Pierre et Marie Curie - LPMA - Case courrier 188 - 4, place Jussieu - 75252 Paris Cedex 05.
Email : thierry.levy@upmc.fr
² Université Lille 1 - Laboratoire Paul Painlevé - Cité Scientifique - 59655 Villeneuve d’ascq Cedex
Email : mylene.maida@math.univ-lille1.fr

Abstract

We give a rigorous proof of the fact that a phase transition discovered by Douglas and Kazakov in 1993 in the context of two-dimensional gauge theories occurs. This phase transition can be formulated in terms of the Brownian bridge on the unitary group in large dimension. We explain how it can be understood by considering the asymptotic behaviour of the eigenvalues of the unitary Brownian bridge, and how it can be technically approached by means of Fourier analysis on the unitary group. Moreover, we advertise some more or less classical methods for solving certain minimisation problems which play a fundamental role in the study of the phase transition and more generally in what can be called ’discrete Coulomb gases’.

Résumé

Nous donnons une preuve rigoureuse de la transition de phase mise en évidence en 1993 par Douglas et Kazakov dans le cadre des théories de jauge en dimension deux. Cette transition de phase peut s’exprimer en termes du pont brownien sur le groupe unitaire en grande dimension. Nous expliquons comment on peut la comprendre via le comportement asymptotique des valeurs propres du pont brownien unitaire et comment on peut la montrer en utilisant l’analyse de Fourier sur le groupe unitaire. En chemin, nous mettons en avant des méthodes plus ou moins classiques pour résoudre certains problèmes de minimisation qui apparaissent dans l’étude de cette transition de phase et plus généralemnt de certains versions discrètes des gaz de Coulomb.