Minisymposium Optimisation de forme: avant-propos

¹ INRIA Project-Team, 2004 route des lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis, FRANCE
² Institut Elie Cartan, Laboratoire de Mathématiques, Université Henri Poincaré Nancy I, B.P. 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy cedex, FRANCE

Abstract

Starting from Hadamard's and Garabedian's works, the shape optimisation was a part of classical calculus of variations. The analysis of free boundary problem problems is performed as well in the framework of the shape optimization. The most advanced applications are now in computer aided design of optimal shapes in many domains including car and aircraft industries. In the 80's, J.-L. Lions suggested to use the adjoint state equations for aerodynamics shape optimization problems, which leads to efficient numerical methods. Optimal Control for shapes is now popular domain in Applied Mathematics and Engineering. New shape gradients were proposed for numerical solutions of such problems (deformation velocity of J. Céa and J.-P. Zolésio; topological derivatives of shape functionals of J. Sokolowski and A. Zochowski, M. Masmoudi based on the asymptotic analysis of the Russian school) and the adjoint states are presently routinely used for numerical methods of shape optimization. Today, parameterization is an important issue for general representation and for computational efficiency. Topological derivatives were recently combined with Level Set methods. The foreword of this minisymposium review shortly these advances and try to identify some unsolved directions. Then the first communication presents this approach for a variational inequality. The aerodynamics-oriented methods are studied in three subsequent communications. First, a Free-Form-Deformation is combined with an adaptative Bézier representation of the boundary. Second, a multilevel optimisation relying on Bézier representation is studied. Then the impact of flow and functional smoothness for supersonic flows is analysed.

Résumé

L'optimisation de forme a vraiment dépassé le stade du calcul variationnel (Hadamard) et de l'analyse des problèmes à frontière libre (Garabedian) lorsque l'on s'est avisé que le gradient et l'ordinateur sont les moyens modernes d'atteindre effectivement des formes optimales. Dans les années 80, Jacques-Louis Lions s'étonnait que l'on utilise si peu l'état adjoint en aérodynamique. De fait, le formalisme du contrôle optimal est désormais adopté pour l'optimisation de forme. Le gradient de forme a donné lieu à de nouvelles formulations comme les champs de vitesse de déformation (J. Céa, J.-P. Zolésio) puis les dérivées topologiques. En même temps, l'état adjoint a trouvé une place centrale en optimisation aérodynamique. Les méthodes de paramétrage reviennent en scène avec deux questions importantes, la généralité du paramétrage et son efficacité. Les dérivations topologiques associées depuis peu avec un paramétrage Level Set permettent de rechercher des formes dont on ignore a priori la topologie (nombre de composantes, nombre de trous,...). L'avant-propos de ce minisymposium passe rapidement en revue ces avancées et essaie d'identifier quelques questions non-résolues. La première communication de ce minisymposium présente la dérivation topologique d'un système régi par une inéquation variationnelle et son adaptation à l'optimisation de forme Level Set. Les trois communications suivantes sont plus concernées par les questions d'efficacité car elles traitent de l'optimisation de formes aérodynamiques. La seconde communication propose un paramétrage par déformation (Free-Form-Deformation) combiné avec une représentation de la frontière par courbes de Bézier adaptative. La troisième communication explore les potentialités d'une approche multiniveau reposant sur le paramétrage Bézier. La dernière communication étudie la relation entre régularité et utilisation du gradient de forme pour des écoulements supersoniques.