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ESAIM: Proc.
Volume 27, 2009
CANUM 2008
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Page(s) | 90 - 106 | |
DOI | https://doi.org/10.1051/proc/2009021 | |
Published online | 25 June 2009 |
Modélisation des dépressions corticales envahissantes et existence de fronts progressifs
CMLA, ENS Cachan, CNRS, Pres UniverSud, 94235 Cachan, France
Spreading depression is a transient depolarization of neurons that
spreads slowly through a part of the brain during stroke, epilepsy or
migraine with aura. They have been observed and studied in most animal
species for more than 50 years, but their existence in the human brain
is still discussed. Mathematical models of spreading depressions have
been established; they are linked to a reaction-diffusion
mechanism. After some numerical experiments, we have made the
following hypothesis: The mecanisms that trigger spreading depressions
are the same in the human brain as in the rodent brain for example,
but the morphology of the human brain could explain the
non-observation of these waves. Hence we have studied the following equation:
where
is the space variable. We have proved that if R is small enough, there is no travelling
front solution of these equation. And if R is large enough, there
exists a travelling front in the x-direction. This result is
obtained by studying the energy of a solution with special initial
conditions in several travelling referentials.
Résumé
Lors d'un accident vasculaire cérébral ou d'une migraine avec aura,
des ondes de dépolarisation se propagent dans la substance
grise du cerveau du rat. Le blocage de ces ondes est une cible
thérapeutique importante, mais l'existence
de ces ondes dans le cerveau humain reste à prouver. Les mécanismes
sont pourtant identiques chez les
deux espèces, ce sont des mécanismes de type réaction-diffusion. Notre
hypothèse est que la morphologie
du cerveau humain pourrait expliquer les difficultés d'observation de
ces ondes, car elle limiterait leur propagation sur de longues
distances.
Après une courte introduction biologique, on explique la construction
du modèle puis on présente différentes expériences numériques qui
portent sur l'influence de la morphologie du cerveau sur la
propagation des ondes de dépolarisation.
On étudie ensuite plus en détails l'équation
suivante:
où
,
et
est la non-linéarité bistable usuelle. Il s'agit donc
d'une équation de réaction-diffusion sur un cylindre de rayon R couplée avec une équation de diffusion
et absoption en dehors du cylindre. On démontre que pour R petit, il
n'existe pas de front progressif solution de cette équation, mais que
pour R grand, il existe un tel front. Pour cela, on étudie
les différents profils asymptotiques possibles pour le front. Cela
suffit à montrer la non-existence de front
si R est petit. Ensuite pour construire un front progressif quand R
est assez grand, on étudie l'énergie d'une solution avec une donnée initiale
bien choisie dans différents référentiels en mouvement.
© EDP Sciences, ESAIM, 2009
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