Quantum waveguides with corners

IRMAR (UMR CNRS 6625), Université de Rennes 1, France
e-mail: monique.dauge@univ-rennes1.fr, e-mail: yvon.lafranche@univ-rennes1.fr, e-mail: nicolas.raymond@univ-rennes1.fr

Abstract

The simplest modeling of planar quantum waveguides is the Dirichlet eigenproblem for the Laplace operator in unbounded open sets which are uniformly thin in one direction. Here we consider V-shaped guides. Their spectral properties depend essentially on a sole parameter, the opening of the V. The free energy band is a semi-infinite interval bounded from below. As soon as the V is not flat, there are bound states below the free energy band. There are a finite number of them, depending on the opening. This number tends to infinity as the opening tends to 0 (sharply bent V). In this situation, the eigenfunctions concentrate and become self-similar. In contrast, when the opening gets large (almost flat V), the eigenfunctions spread and enjoy a different self-similar structure. We explain all these facts and illustrate them by numerical simulations.

Résumé

La modélisation la plus simple des guides d’ondes quantiques plans est le problème aux valeurs propres pour le laplacien dans des ouverts non bornés qui sont fins dans une direction. Ici nous considérons des guides en forme de V. Leurs propriétés spectrales dépendent essentiellement d’un seul paramètre, l’ouverture du V. La bande d’énergie libre est un intervalle semi-infini borné inférieurement. Dès que le V n’est pas plat, il existe des états liés sous la bande d’énergie libre. Ils sont en nombre fini, fonction de l’ouverture. Ce nombre tend vers l’infini quand l’ouverture tend vers 0 (V très refermé). Dans cette situation, les fonctions propres se concentrent et deviennent auto-similaires. À l’opposé, quand l’ouverture est grande (V très aplati), les fonctions propres s’étalent et jouissent d’une autre structure auto-similaire. Nous expliquons tous ces résultats et les illustrons par des expériences numériques.