Some aspects of the local theory of generalized Dhombres functional equations in the complex domain

Institute for Mathematics and Scientific Computing, Karl-Franzens-Universität Graz, Heinrichstraße 36, A-8010 Graz, Austria
e-mail: joerg.tomaschek@uni-graz.at

Abstract

We study the generalized Dhombres functional equation f(zf(z)) = ϕ(f(z)) in the complex domain. The function ϕ is given and we are looking for solutions f with f(0) = w₀ and w₀ is a primitive root of unity of order l ≥ 2. All formal solutions for this case are described in this work, for the situation where ϕ can be transformed into a function which is linearizable and local analytic in a neighbourhood of zero we also show that we obtain local analytic solutions. We also discuss an example where it is possible to use other methods than we use in the general case.

Résumé

Nous étudions la fonctionnelle de Dhombres f(zf(z)) = ϕ(f(z)) dans le plan complexe. La fonction ϕ est donnée et nous cherchons les solutions f avec f(0) = w₀ où w₀ est une racine primitive de l’unité d’ordre l ≥ 2. Nous décrivons dans ce travail toutes les solutions formelles dans ce cas, et lorsque ϕ peut être transformée en une fonction linéarisable et localement analytique au voisinage de zéro nous montrons également comment obtenir des solutions analytiques locales. Nous discutons enfin un exemple où il est possible d’utiliser des méthodes différentes de celles que nous mettons en œuvre dans le cas général.