A brief introduction to homogenization and miscellaneous applications^*

CMAP, Ecole Polytechnique, 91128 Palaiseau, France

Abstract

This paper is a set of lecture notes for a short introductory course on homogenization. It covers the basic tools of periodic homogenization (two-scale asymptotic expansions, the oscillating test function method and two-scale convergence) and briefly describes the main results of the more general theory of G−  or H−convergence. Several applications of the method are given: derivation of Darcy’s law for flows in porous media, derivation of the porosity model and long time behavior of a diffusion equation. Numerical agorithms for homogenization are also discussed, including multiscale finite element methods.

Résumé

Cet article reprend des notes de cours, d’un niveau introductif, sur l’homogénéisation. Ces notes couvrent la théorie de l’homogénéisation périodique (développements asymptotiques à deux échelles, méthode de la fonction test oscillante, convergence à deux échelles) et décrivent brièvement les principaux résultats de la théorie plus générale de la G− ou H− convergence. Plusieurs applications de la méthode sont données : dérivation de la loi de Darcy pour des écoulements en milieux poreux, dérivation du modèle de double porosité et comportement en temps grand d’une équation de diffusion. Des algorithmes numériques pour l’homogénéisation sont aussi présentés, dont, en particulier, les méthodes d’éléments finis multi-échelles.