Numerical homogenization: survey, new results, and perspectives

Project-team SIMPAF & Laboratoire Paul Painlevé UMR 8524, INRIA Lille - Nord Europe & Université Lille 1, Villeneuve d’Ascq, France
antoine.gloria@inria.fr

Abstract

These notes give a state of the art of numerical homogenization methods for linear elliptic equations. The guideline of these notes is analysis. Most of the numerical homogenization methods can be seen as (more or less different) discretizations of the same family of continuous approximate problems, which H-converges to the homogenized problem. Likewise numerical correctors may also be interpreted as approximations of Tartar’s correctors. Hence the convergence analysis of these methods relies on the H-convergence theory. When one is interested in convergence rates, the story is different. In particular one first needs to make additional structure assumptions on the heterogeneities (say periodicity for instance). In that case, a crucial tool is the spectral interpretation of the corrector equation by Papanicolaou and Varadhan. Spectral analysis does not only allow to obtain convergence rates, but also to devise efficient new approximation methods. For both qualitative and quantitative properties, the development and the analysis of numerical homogenization methods rely on seminal concepts of the homogenization theory. These notes contain some new results.

Résumé

Ces notes de cours dressent un état de l’art des méthodes d’homogénéisation numérique pour les équations elliptiques linéaires. Le fil conducteur choisi est l’analyse. La plupart des méthodes d’homogénéisation numérique s’interprète comme des discrétisations (plus ou moins différentes) d’une même famille de problèmes continus approchés qui H-converge vers le problème homogénéisé. De même, le concept de correcteur numérique s’interprète comme une approximation des correcteurs introduits par Tartar. Ainsi l’analyse de convergence repose essentiellement sur la théorie de la H-convergence. Si on s’intéresse aux estimations quantitatives d’erreur, il faut faire des hypothèses supplémentaires de structure sur les hétérogénéités (périodicité par exemple). Dans ce cas, un outil important est l’interprétation spectrale de l’équation du correcteur introduite par Papanicolaou et Varadhan, qui permet non seulement de démontrer des résultats quantitatifs, mais aussi de développer des méthodes numériques efficaces. Qu’il s’agisse de propriétés qualitatives ou quantitatives, le développement et l’analyse de méthodes d’homogénéisation numérique reposent sur des concepts fondateurs de la théorie de l’homogénéisation. Ces notes contiennent quelques résultats nouveaux.