Boundary layer correctors and generalized polarization tensor for periodic rough thin layers. A review for the conductivity problem

Team-Projet MC2, INRIA Bordeaux-Sud-Ouest, Institut de Mathématiques de Bordeaux, CNRS UMR 5251 & Université de Bordeaux, 351 cours de la Libération, F–3340 Talence, France
clair.poignard@inria.fr

Abstract

We study the behaviour of the steady-state voltage potential in a material composed of a two-dimensional object surrounded by a rough thin layer and embedded in an ambient medium. The roughness of the layer is supposed to be ε^α–periodic, ε being the magnitude of the mean thickness of the layer, and α a positive parameter describing the degree of roughness. For ε tending to zero, we determine the appropriate boundary layer correctors which lead to approximate transmission conditions equivalent to the effect of the rough thin layer. We also provide an explicit characterization of the polarization tensor as defined by Capdeboscq and Vogelius in [9]. The present paper revisits the previous works of the author [11, 13, 16, 17], and it also provides new results for the very rough case α > 1.

Résumé

Dans cet article, nous considérons le problème de conduction dans un domaine bidimensionnel composé d’une fine membrane rugueuse entourant un domaine conducteur, le tout plongé dans un milieu ambiant de conductivité différente. La rugosité de la membrane est supposée ε^α–périodique, ε étant l’épaisseur moyenne de la membrane, et α un paramètre positif décrivant le degré de rugosité. Nous déterminons des correcteurs de couche limite conduisant à la construction de conditions de transmission approchées lorsque le paramètre ε tend vers zero. Nous donnons aussi une caractérisation explicite du tenseur de polarisation défini par Capdeboscq and Vogelius dans [9]. Cet article revisite des résultats précédents de l’auteur obtenus dans [11, 13, 16, 17], et présente de nouveaux résultats pour le cas très rugueux α > 1.