Limit theorems and inequalities via martingale methods

¹ CPHT, CNRS UMR 7644, École Polytechnique, 91128 Palaiseau cedex, France.
² Laboratoire MAS, École Centrale de Paris, Grande Voie des Vignes, 92295 Chatenay-Malabry cedex, France.
³ Laboratoire MAP5, CNRS UMR 8145, Université Paris-Descartes, Sorbonne Paris Cité, 45 rue des Saints Pères, 75270 Paris cedex 06, France.
⁴ LMBA, UMR CNRS 6205, Université de Bretagne Sud, Campus de Tohannic, 56017 Vannes, France.
⁵ Laboratoire Statistique et Génome, CNRS UMR 8071- USC INRA, Université d’Évry Val d’Essonne, 23 bvd de France 91037 Évry, France.

Abstract

In these notes, we first give a brief overwiew of martingales methods, from Paul Lévy (1935) untill now, to explain why these methods have become a central tool in probability, statistics and ergodic theory. Next, we present some recent results for/or based on martingales: exponential bounds for super-martingales, concentration inequalities for Lipschitz functionals of dynamical systems, oracle inequalities for the Cox model in a high dimensional setting, and invariance principles for stationary sequences.

Résumé

Dans ces notes, nous faisons d’abord un rapide survol des méthodes de martingales, depuis Paul Lévy (1935) jusqu’à nos nos jours, afin d’expliquer pourquoi ces méthodes sont devenues centrales en probabilité, statistique et théorie ergodique. Ensuite, nous présentons des résultats récents sur/ou fondés sur les martingales : des inégalités exponentielles pour les sur-martingales, des inégalités de concentration pour les fonctionnelles lipschitziennes de systèmes dynamiques, des inégalités oracle pour le modèle de Cox en grande dimension, et des principes d’invariances pour les suites stationnaires.