Some characterizations of a uniform ball property^*

Institut Elie Cartan of Lorraine UMR 7502, University of Lorraine BP 70239 54506 Vandoeuvre-les-Nancy Cedex, France
e-mail: jeremy.dalphin@mines-nancy.org

Abstract

In 1973, Helfrich suggested a simple model to describe the shapes of vesicles: a free bending energy involving geometric quantities like curvature. However, the mathematical questions concerning the existence and the regularity of minimizers to such shape optimization problems still remain open. In this article, we consider a class of admissible shapes in which the existence of minimizers is ensured: the hypersurfaces of Rⁿ satisfying a uniform ball condition. We prove that this property is equivalent to the notion of positive reach introduced by Federer in 1959. Then, another characterization in terms of C^1,1-regularity is established for compact hypersurfaces.

Résumé

En 1973, Helfrich proposa un modèle simple pour décrire les formes prises par les vésicules : une énergie élastique faisant intervenir des quantités géométriques comme la courbure. Cependant, les questions mathématiques liées à l’existence et la régularité de solutions pour de tels problèmes d’optimisation de formes restent ouvertes à ce jour. Dans cet article, on considère une classe de formes admissibles au sein de laquelle l’existence d’un minimum est assurée : les hypersurfaces de Rⁿ qui vérifient une condition de boule uniforme. On démontre que cette propriété est équivalente à la notion de "reach" positif introduite par Federer en 1959. Ensuite, une autre caractérisation en termes de régularité C^1,1 est établie pour les hypersurfaces compactes.