The Evolution of the Local Induction Approximation for a Regular Polygon ^*

¹ Department of Applied Mathematics, Statistics and Operations Research, Faculty of Science and Technology, University of the Basque Country UPV/EHU, Barrio Sarriena S/N, 48940 Leioa, Spain
² Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University of the Basque Country UPV/EHU, Barrio Sarriena S/N, 48940 Leioa, Spain. BCAM – Basque Center for Applied Mathematics, Alameda de Mazarredo 14, 48009 Bilbao, Spain
e-mail: francisco.delahoz@ehu.es

Abstract

In this paper, we consider the so-called local induction approximation (LIA):

where ∧ is the usual cross product, and s denotes the arc-length parametrization. We study its evolution, taking planar regular polygons of M sides as initial data. Assuming uniqueness and bearing in mind the invariances and symmetries of the problem, we are able to fully characterize, by algebraic means, X(s,t) and its derivative, the tangent vector T(s,t), at times t which are rational multiples of 2π/M². We show that the values at those instants are intimately related to the generalized quadratic Gauß sums.

Résumé

Dans cette courte note, nous considérons l’approximation d’induction locale (communément appelée LIA, par ses initiales en anglais) :

où ∧ symbolise le produit croisé habituel et s est le paramétrage par longueur d’arc. Nous étudions son évolution, en considerant des polygones plans réguliers à M côtés comme données initiales. En supposant l’unicité et en prenant en compte les invariances et les symétries du problème, nous sommes capables de caractériser complètement, par des techniques algébriques, X(s,t) et sa dérivée, le vecteur tangent T(s,t), à des instants t qui sont des multiples rationnels de 2π/M². Nous montrons que les valeurs à ces instants sont intimement liées aux sommes quadratiques généralisées de Gauß.