Penalization of a stochastic variational inequality modeling an elasto-plastic problem with noise

¹ Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Paris 7, Paris, France
² Courant Institute, New York University, New York, New York 10012

Abstract

In a recent work of A. Bensoussan and J. Turi Degenerate Dirichlet Problems Related to the Invariant Measure of Elasto-Plastic Oscillators, AMO, 2008, it has been shown that the solution of a stochastic variational inequality modeling an elasto-plastic oscillator excited by a white noise has a unique invariant probability measure. The latter is useful for engineering in order to evaluate statistics of plastic deformations for large times of a certain type of mechanical structure. However, in terms of mathematics, not much is known about its regularity properties. From then on, an interesting mathematical question is to determine them. Therefore, in order to investigate this question, we introduce in this paper approximate solutions of the stochastic variational inequality by a penalization method. The idea is simple: the inequality is replaced by an equation with a nonlinear additional term depending on a parameter n penalizing the solution whenever it goes beyond a prespecified area. In this context, the dynamics is smoother. In a first part, we show that the penalized process converges towards the original solution of the aforementioned inequality on any finite time interval as n goes to ∞. Then, in a second part, we justify that for each n it has a unique invariant probability measure. Finally, we provide numerical experiments and we give an empirical convergence rate of the sequence of measures related to the penalized process.

Résumé

Dans un travail récent de A. Bensoussan et J. Turi Degenerate Dirichlet Problems Related to the Invariant Measure of Elasto-Plastic Oscillators, AMO, 2008, il a été montré que la solution d’une inéquation variationnelle stochastique modélisant un oscillateur élasto-plastique excité par un bruit blanc admet une unique mesure de probabilité invariante. Cette dernière est utile en science de l’ingénieur pour estimer les statistiques des déformations plastiques en temps grands d’un certain type de structure mécanique. Dès lors, un problème mathématique intéressant est de déterminer la régularité de cette mesure. Afin d’étudier ce problème, nous introduisons ici des solutions approchées de l’inéquation par une méthode de pénalisation. Ainsi, l’inéquation est remplacée par une équation avec un terme nonlinéaire additionnel dépendant d’un certain paramètre n pénalisant la solution en dehors d’un domaine admissible. Dans ce contexte, la dynamique stochastique est plus régulière. Dans un premier temps, nous montrons la convergence lorsque n tend vers du processus pénalisé vers la solution de l’inéquation sur tout intervalle de temps fini. Puis dans un second temps, nous montrons que pour chaque n le processus pénalisé est dissipatif et qu’il admet une unique mesure invariante. Finalement, nous étudions numériquement la convergence par rapport au paramètre de pénalisation et donnons un taux de convergence empirique de la suite des mesures du processus pénalisé.