Diffusion limit of the simplified Langevin PDF model in weakly inhomogeneous turbulence

¹ UPMC Univ Paris 06, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions, F-75005, Paris, France
² Univ Paris-Dauphine, UMR 7534, Laboratoire Ceremade, F-75016, Paris, France
³ ONERA, DEFA, F-91123 Palaiseau, France
⁴ Ecole des Ponts ParisTech, Laboratoire Cermics
⁵ CEA, DAM, DIF, F-91297, Arpajon, France

Abstract

In this work, we discuss the modelling of transport in Langevin probability density function (PDF) models used to predict turbulent flows [1]. Our focus is on the diffusion limit of these models, i.e. when advection and dissipation are the only active physical processes. In this limit, we show that Langevin PDF models allow for an asymptotic expansion in terms of the ratio of the integral length to the mean gradient length. The main contribution of this expansion yields an evolution of the turbulent kinetic energy equivalent to that given by a k − ε model. In particular, the transport of kinetic energy is given by a gradient diffusion term. Interestingly, the identification between PDF and models raises a number of questions concerning the way turbulent transport is closed in PDF models. In order to validate the asymptotic solution, several numerical simulations are performed, with a Monte Carlo solver and also with a deterministic code.

Résumé

Dans cet article, nous abordons la question de la modélisation du transport turbulent dans les modèles de turbulence basés sur les fonctions de densité de probabilité (PDF). Nous étudions la limite diffusive de ces modèles obtenue lorsque l’advection et la dissipation sont les seuls processus physiques actifs. Dans cette limite, nous montrons que les modèles PDF donnent lieu à un développement asymptotique selon un petit paramètre correspondant au rapport de l’échelle intégrale sur l’échelle du gradient moyen. La contribution principale de ce développement s’identifie avec un modèle classique. En particulier, le transport de l’énergie turbulente est donné par une diffusion en premier gradient. L’identification entre modèle et modèle PDF permet de soulever un certain nombre de questions sur la manière dont le transport est modélisé dans les approches PDF. La solution asymptotique est validée par des simulations numériques réalisées à l’aide d’un code Monte Carlo mais aussi d’un code déterministe.