Some new standpoints in the design of asymptotic functional linear observers

¹ Laboratoire de Génie de Production, 65016, Tarbes CEDEX, France.
rotella@enit.fr, izambettakis@iut-tarbes.fr

Abstract

The owl of Minerva spreads its wing only with the falling of the dusk. The aim of this work is to provide some new trends in the observation for linear systems. In the general framework of designing linear functional observers for linear systems the necessary and sufficient existence conditions are well known. Whether in the O’Reilly textbook or in the recently published ones on this topic, and, roughly speaking, the design methods can be categorized in two kinds. The first one is based on the solution of a Sylvester equation and a projection of the observed linear functional. The second one, based on the recent notion of functional observability, starts from the Darouach criterion which is an Popov-Belevitch-Hautus type one. Nevertheless, the main drawback of the deduced methods is that they cannot be used for linear time-varying systems. These models are of primary importance, for instance with linearization about a trajectory. Consequently, we cope with this problem by considering a new point of view for the design of linear functional observers. We see also that Darouach observers or Cumming-Gopinath observers are particular cases of the proposed methodology. For simplicity sake we suppose the system has no unknown inputs and is not described by a distributed parameters model as well. Nevertheless, these cases can be thought as possible extensions of the presented standpoints.

Résumé

La chouette de la connaissance ne vole qu’à la nuit tombée. L’objet de cet article est de proposer des pistes pour l’observation dans le cadre des systèmes linéaires. De façon plus générale, en considérant l’observation de fonctions linéaires de l’état d’un modèle linéaire, les conditions nécessaires et suffisantes d’existence de ces observateurs sont connues depuis longtemps. Que ce soit dans l’ouvrage de base de O’Reilly ou dans les ouvrages plus récents qui traitent de ce sujet, les différentes méthodes de conception d’un observateur de fonctionnelle linéaire peuvent, schématiquement, être rassemblées en deux groupes. Celles qui demandent la résolution d’une équation de Sylvester et d’une équation de projection et celles basées sur l’extension du critère d’existence de Darouach, ces dernières utilisant un critère de type Popov-Belevitch-Hautus. Ainsi les méthodes déduites de ces critères peuvent être difficilement étendues aux systèmes linéaires non stationnaires. De façon à contourner cet inconvénient majeur lorsque l’on songe à la linéarisation autour d’une trajectoire, nous proposons une technique pratique et systématique de conception d’un observateur. On montre par exemple que les observateurs de Darouach ou de Cumming-Gopinath n’en sont que des cas particuliers. Bien sûr, pour ne pas compliquer inutilement la présentation nous n’envisagerons que des modèles linéaires stationnaires de dimension finie à entrées toutes connues, les autre situations pouvant être envisagées à titre d’extension.