Lagrangian/Eulerian solvers and simulations for Vlasov-Poisson

¹ Univ. Bordeaux, CELIA, UMR 5107, F- 33400 Talence, France
² Univ. Bordeaux, IMB,UMR 5251, F- 33400 Talence, France
e-mail: guisset@celia.u-bordeaux1.fr
³ INRIA Nancy - Grand Est / IRMA - TONUS
⁴ IRMA, UMR 7501, Univ. de Strasbourg et CNRS
e-mail: gutnic@math.unistra.fr, philippe.helluy@math.unistra.fr, laurent.navoret@math.unistra.fr, pham@math.unistra.fr, michel.massaro@math.unistra.fr, malcolm.i.w.roberts@gmail.com

Abstract

We construct a hyperbolic approximation of the Vlasov equation using a method of reduction [10, 14, 22] in which the dependency on the velocity variable is removed. The reduction relies on a semi-discrete finite element approximation in the velocity variable. We apply Gauss-Lobatto numerical integration in velocity space, reducing the hyperbolic system to a system of transport equations for which the transport velocities are the Gauss-Lobatto points. The transport equations are coupled through a zero-order term that represents the electromagnetic forces. We solve the resulting system by a splitting approach: the homogeneous transport equations are solved by a split semi-Lagrangian method and the source term is applied independently. We also present preliminary comparisons with another transport solver based on the discontinuous Galerkin method.

Résumé

Au moyen d’une méthode de réduction décrite dans [10, 14, 22] nous construisons une approximation hyperbolique de l’équation de Vlasov dans laquelle la dépendance en vitesse est supprimée. La réduction repose sur une semi-discrétisation par éléments finis dans la variable de vitesse. Nous appliquons aussi une intégration numérique de Gauss-Lobatto dans l’espace des vitesses. Le sytème hyperbolique se réduit alors à un système d’équations de transport dont les vitesses sont les points de Gauss-Lobatto. Les équations de transport sont couplées à travers un terme source d’ordre zéro qui représente la force électromagnétique. Nous résolvons le système obtenu par une méthode de splitting: les équations de transport homogènes sont résolues par un algorithme semi-Lagrangien splitté et le terme source est appliqué indépendamment. Nous présentons également des comparaisons préliminaires avec un autre solveur de l’équation de transport basé sur une approche Galerkin discontinu.