Random ultrametric trees and applications^*

Université Pierre et Marie Curie – UPMC Univ Paris 06, Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Case 188, 4 place Jussieu, 75252 PARIS Cedex 05 ; email: amaury.lambert@upmc.fr;
url: http://www.lpma-paris.fr/pageperso/amaury.lambert/

Abstract

Ultrametric trees are trees whose leaves lie at the same distance from the root. They are used to model the genealogy of a population of particles co-existing at the same point in time. We show how the boundary of an ultrametric tree, like any compact ultrametric space, can be represented in a simple way via the so-called comb metric. We display a variety of examples of random combs and explain how they can be used in applications. In particular, we review some old and recent results regarding the genetic structure of the population when throwing neutral mutations on the skeleton of the tree.

Résumé

Les arbres ultramétriques sont les arbres dont les feuilles se trouvent toutes à la même distance de la racine. Ces arbres sont utilisés pour modéliser la généalogie d’une population de particules qui co-existent à un temps donné. Nous montrons que la frontière d’un arbre ultramétrique, comme tout espace ultramétrique compact, peut être représentée simplement via ce que nous appelons la distance de peigne. Nous examinons plusieurs exemples de peignes aléatoires et nous expliquons comme ils peuvent être utilisés dans certaines applications. En particulier, nous évoquons quelques résultats anciens ou plus récents concernant la structure génétique de la population lorsque l’on jette des mutations neutres sur le squelette de l’arbre.