Smoothing effect and quantum-classical correspondence for the Schrödinger equation with confining potential

Department of Mathematics, Purdue University, West Lafayette, IN, USA

e-mail: aprouff@purdue.edu

Abstract

The smoothing effect states that solutions to the Schrödinger equation in the Euclidean space have, for almost-every time, a local-in-space improved regularity (gain of half a derivative in Sobolev spaces). In this note, we show that, for the Schrödinger equation with a sub-quadratic confining potential, the smoothing effect is equivalent to an escape rate estimate on the associated classical flow. The proof relies on an Egorov theorem proved in [Pro24].

Résumé

L’effet régularisant énonce que les solutions de l’équation de Schrödinger dans l’espace Euclidien ont, pour presque tout temps, un gain de régularité local en espace (gain d’une demie dérivée dans les espaces de Sobolev). Dans cette note, on montre, pour l’équation de Schrödinger avec potentiel confinant sous-quadratique, que l’effet régularisant est équivalent à une estimée du taux de fuite des trajectoires de la mécanique classique sous-jacente. La preuve repose sur un théorème d’Egorov tiré de [Pro24].