Comparison between tensor methods and neural networks in electronic structure calculations^*,**

¹ École nationale des ponts et chaussées and Inria Paris team Matherials, Paris, France
² Laboratoire de Mathématiques, Université de Franche-Comté, Besançon, France
³ École nationale des ponts et chaussées and Inria Paris team Matherials, Paris, France
⁴ École nationale des ponts et chaussées and Inria Paris team Matherials, Paris, France
⁵ Centrale Nantes, Nantes Université, Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Nantes, France
⁶ Airbus Central Research & Technology, Virtual Product Engineering/XRV

Abstract

This article compares the tensor method density matrix renormalization group (DMRG) with two neural network based methods -namely FermiNet and PauliNet) for determining the ground state wavefunction of the many-body electronic Schrödinger problem. We provide numerical simulations illustrating the main features of the methods and showing convergence with respect to some parameter, such as the rank for DMRG, and number of pretraining iterations for neural networks. We then compare the obtained energy with the methods for a few atoms and molecules, for some of which the exact value of the energy is known for the sake of comparison. In the last part of the article, we propose a new kind of neural network to solve the Schrödinger problem based on the training of the wavefunction on a simplex, and an explicit permutation for evaluating the wavefunction on the whole space. We provide numerical results on a toy problem for the sake of illustration.

Résumé

Cet article compare la méthode tensorielle du groupe de renormalisation de la matrice de densité (DMRG) avec deux méthodes basées sur les réseaux de neurones, FermiNet et PauliNet, pour déterminer la fonction d’onde de l’état fondamental du problème de Schrödinger électronique à N corps. Nous fournissons des simulations numériques illustrant les principales caractéristiques des méthodes et montrant la convergence par rapport à certains paramètres, tels que le rang pour DMRG et le nombre d’itérations de pré-entraînement pour les réseaux de neurones. Nous comparons ensuite l’énergie obtenue avec les méthodes appliquées à quelques atomes et molécules, dont nous disposons pour certains de l’énergie exacte à comparer. Dans la dernière partie de l’article, nous proposons un nouveau type de réseau de neurones pour résoudre le problème de Schrödinger basé sur l’entraînement de la fonction d’onde sur un simplexe, et une permutation explicite pour évaluer la fonction d’onde sur l’ensemble de l’espace. Nous proposons des résultats numériques sur un problème de jouet pour l’illustrer.