Bounds of Ruin Probabilities for Insurance Companies in the Presence of Stochastic Volatility on Investments^{⋆ ⋆⋆}

¹ Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Unidad Zacatenco, IPN. Gustavo A. Madero, 07738 México Mexico
e-mail: mbadaoui@ipn.mx
² Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), Coyoacan 04510, México Mexico
e-mail: bff@fc.unam.mx

Abstract

In this work we consider a model of an insurance company where the insurer has to face a claims process which follows a Compound Poisson process with finite exponential moments. The insurer is allowed to invest in a bank account and in a risky asset described by Geometric Brownian motion with stochastic volatility that depends on an external factor modelled as a diffusion process. By using exponential martingale techniques we obtain upper and lower bounds for the ruin probabilities, that recover the known bounds for constant volatility models. Finally we apply the results to a truncated Scott model.

Résumé

Dans ce travail, nous considérons un modèle d’une compagnie d’assurance où l’assureur doit faire face a un processus de sinistres qui suit un processus de Poisson Composé avec des moments exponentiels finis. L’assureur est autorisé à investir dans un compte bancaire et un actif à risque décrit par le mouvement Brownien Géométrique à volatilité stochastique qui dépend d’un facteur externe modélisé comme un processus de diffusion. En utilisant des techniques de martingale exponentielle, nous obtenons une borne supérieur et une borne inférieur pour les probabilités de ruine, qui récupèrent les bornes connues pour les modèles de volatilité constante. Enfin, nous appliquons les résultats au modèle de Scott tronqué.