On the helix equation

¹ Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Tunis, Université de Tunis Elmanar, TN-2092 Elmanar, Tunis, Tunisia
e-mail: Med.Hmissi@fst.rnu.tn
² Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Tunis, Université de Tunis Elmanar, TN-2092 Elmanar, Tunis, Tunisia
e-mail: bensalahimene@live.fr
³ Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Tunis, Université de Tunis Elmanar, TN-2092 Elmanar, Tunis, Tunisia
e-mail: hajertaouil@yahoo.fr

Abstract

This paper is devoted to the helices processes, i.e. the solutions H : ℝ × Ω → ℝ^d, (t, ω) ↦ H(t, ω) of the helix equation $\begin{array}{ccc}\mathit{H}\mathrm{\left(}\mathrm{0}\mathit{,\omega }\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{;} \mathit{H}\mathrm{(}\mathit{s}\mathrm{+}\mathit{t,\omega }\mathrm{)}\mathrm{=}\mathit{H}\mathrm{\left(}\mathit{s,}\mathrm{\Phi }\mathrm{\right(}\mathit{t,\omega }\mathrm{\left)}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathit{H}\mathrm{\left(}\mathit{t,\omega }\mathrm{\right)}& & \end{array}$ where Φ : ℝ × Ω → Ω, (t, ω) ↦ Φ(t, ω) is a dynamical system on a measurable space (Ω, ℱ).

More precisely, we investigate dominated solutions and non differentiable solutions of the helix equation. For the last case, the Wiener helix plays a fundamental role. Moreover, some relations with the cocycle equation defined by Φ, are investigated.

Résumé

Ce papier est consacré aux hélices, c’est-à-dire les solutions H : ℝ × Ω → ℝ^d, (t, ω) ↦ H(t, ω) de l’équation fonctionnelle $\begin{array}{ccc}\mathit{H}\mathrm{\left(}\mathrm{0}\mathit{,\omega }\mathrm{\right)}\mathrm{=}\mathrm{0}\mathrm{;} \mathit{H}\mathrm{(}\mathit{s}\mathrm{+}\mathit{t,\omega }\mathrm{)}\mathrm{=}\mathit{H}\mathrm{\left(}\mathit{s,}\mathrm{\Phi }\mathrm{\right(}\mathit{t,\omega }\mathrm{\left)}\mathrm{\right)}\mathrm{+}\mathit{H}\mathrm{\left(}\mathit{t,\omega }\mathrm{\right)}& & \end{array}$ où Φ : ℝ × Ω → Ω, (t, ω) ↦ Φ(t, ω) est un système dynamique défini sur un espace mesurable (Ω, ℱ).

Plus présisément, nous déterminons d’abord les hélices dominées puis nous caractérisons les hélices non différentiables. Dans ce dernier cas, l’hélice de Wiener joue un rôle important. Nous précisons aussi quelques relations des hélices avec les cocycles définis par Φ.