Invariant graphs of functions for the mean-type mappings

Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometric, University of Zielona Góra, Podgórna 50, PL-65246 Zielona Góra, Poland ; Institute of Mathematics, Silesian University, Bankowa 14, PL-40007 Katowice, Poland
e-mail: J.Matkowski@wmie.uz.zgora.pl

Abstract

Let I be a real interval, J a subinterval of I, p ≥ 2 an integer number, and M₁, ... , M_p : I^p → I the continuous means. We consider the problem of invariance of the graphs of functions ϕ : J^p−1 → I with respect to the mean-type mapping M = (M₁, ... , M_p).

Applying a result on the existence and uniqueness of an M -invariant mean [7], we prove that if the graph of a continuous function ϕ : J^p−1 → I is M-invariant, then ϕ satisfies a simple functional equation. As a conclusion we obtain a theorem which, in particular, allows to determine all the continuous and decreasing in each variable functions ϕ of the M-invariant graphs. This improves some recent results on invariant curves [8] where the case p = 2 is considered.

Résumé

Soit I un intervalle réel, J un sous-intervalle de I, p ≥ 2 un entier, et M₁, ... , M_p : I^p → I les moyennes continues. Nous considérons le problème de l’invariance des graphes des fonctions ϕ : J^p−1 → I par rapport aux applications de type moyenne M = (M₁, ... , M_p).

En appliquant un résultat d’existence et unicité d’une moyenne M-invariante [7], nous montrons que si le graphe d’une fonction continue ϕ : J^p−1 → I est M-invariant, alors ϕ vérifie une équation fonctionnelle simple. En conclusion, nous obtenons un théorème qui, en particulier, permet de déterminer toutes les fonctions ϕ des graphes M-invariant continues et décroissantes en chaque variable. Ceci améliore les résultats récents sur les courbes invariantes [8] où le cas p = 2 était considéré.