Translation equation and Sincov’s equation – A historical remark

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Abstract

Gottlob Frege (1848 – 1925), the world famous logician was also a pioneer in iteration theory. His habilitation thesis “Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Grössenbegriffes gründen” (“Methods of Calculation based on an Extension of the Concept of Quantity”) published 1874 yields a foundation of iteration theory and dynamical systems in one and also in several variables. He considers there the translation equation

and all the three so-called Aczél-Jabotinsky equations connected with the differentiable solutions of it. By this way Frege e.g. recognized also the importance of the infinitesimal generator of a dynamical system. A comprehensive presentation of this matter may be found in Gronau [4]. Frege treated in this connection also Sincov’s equation

and gave its general solution almost 30 years before Sincov. The history and background of Sincov’s equation is described in Gronau [5]. Here we give a detailed description of the connection between the translation equation and the Sincov equation.

Résumé

Gottlob Frege (1848 - 1925), le logicien mondialement connu était aussi un pionnier en la théorie d’itération. Sa thèse d’un doctorat d’État “Rechnungsmethoden, die sich auf eine Erweiterung des Grössenbegriffes gründen” (”Méthodes de Calcul basé sur une Extension du Concept de Quantité”) publié en 1874 rapporte une fondation de la théorie d’itération et des systèmes dynamiques dans une et aussi dans plusieures variables. Il considère l’équation de translation f(s,f(t,x)) = f(s + t,x) et aussi toutes les trois équations d’Aczél-Jabotinsky en connexion avec les solutions differentiables de l’équation de translation. Frege par exemple a reconnu aussi l’importance du générateur infinitésimal d’un système dynamique. Une présentation compréhensive de cette matière peut tre trouvée dans Gronau [4]. Frege a traité dans ce connexion l’équation de Sincov Ψ(z,x) = Ψ(z,y) + Ψ(y,x) et a donné sa solution générale près de 30 ans avant Sincov. L’histoire et le contexte de l’équation de Sincov sont écrits dans Gronau [5].

Ici, on donne une description détaillée de la connexion entre l’équation de translation et l’équation de Sincov.