Convergence of iterates of pre-mean-type mappings

Faculty of Mathematics, Computer Science and Econometrics, University of Zielona Góra, Szafrana 4a, PL-65-516 Zielona Góra, Poland,
e-mail: J.Matkowski@wmie.uz.zgora.pl

Abstract

Pre-mean in an interval I, being defined as a function M:I² → I such that M⁽x,x⁾ = x for x ∈ I,is an essential generalization of the mean. If M and N are pre-means, a map ⁽M,N⁾:I² → I² is called pre-mean-type mapping. The problem of convergence of iterates of pre-mean type mappings of the form with s,t ∈ ⁽0,1⁾;p,q ∈ R, p ≠ q, where is considered. It is proved, in particular, that for p = 2r, q = r and s ≤ t< 2s, the sequence of iterates at the point (x,y) converges to . For some s and t the iterates behave in ”chaotic” way. An application in solving a functional equation is presented.

Résumé

Pré-moyenne en intervalle I, etant détérminé comme une fonction M:I² → I, telle che M⁽x,x⁾ = x,x ∈ I, est une generalisation fondamentale de la moyenne. Si M et N sont les pré-moyennes, l’application ⁽M,N⁾:I² → I² s’appelle l’application qui pré-moyenne. Le problème de la convergence de l’itération des applications qui pré-moyennent qui ont la forme avec s,t ∈ ⁽0,1⁾;p,q ∈R, p ≠ q; est ici considéré. On prouve, en particulier, que pour p = 2r, q = r et s ≤ t< 2s, une suite des itérations en un point (x,y) est convergente á. Pour certains s,t les itérations se comportent d’une manière chaotique. Le résultat reçu est appliquaé´ résoudre une équation fonctionnelle.