Modelling of phase transitions in granular flows

LAMA UMR CNRS 5127, Université Savoie Mont–Blanc, 73376 Le Bourget-du-Lac, perrin@instmath.rwth-aachen.de

Abstract

We present in this work a system for unidimensional granular flows first mentioned in a paper of A. Lefebvre–Lepot and B. Maury (2011), which captures the transitions between compressible and incompressible phases. This model exhibits in the incompressible regions some memory effects through an additional variable called adhesion potential. We derive this system from compressible Navier–Stokes equations with singular viscosities and pressure, the singular limit between the two systems can then be seen as an analogue of the low Mach number limit for fluid with pressure dependent viscosity. It answers in a sense to the problem of transition between suspension flows and immersed granular flows identified by B. Andreotti, Y. Forterre and O. Pouliquen (2011). We illustrate the singular limit by numerical simulations.

Résumé

Dans cette étude nous présentons un modèle introduit à l’origine par A. Lefebvre– Lepot et B. Maury (2011) décrivant les transitions entre phases compressibles et incompressibles au sein d’écoulements granulaires unidimensionels. Ce modèle a la particularité d’introduire des effets de mémoire au sein des zones incompressible au travers d’une nouvelle variable appelée potentiel d’adhésion. Nous dérivons ce modèle mathématique à partir d’équations de Navier-Stokes compressibles où les lois de pression et de viscosités sont singulières au voisinage de la densité maximale. Le passage à la limite peut alors être vu comme un analogue d’une limite faible nombre de Mach locale pour des fluides avec viscosité dépendant de la pression. Ceci répond en un sens à la question posée par B. Andreotti, Y. Forterre et O Pouliquen (2011), d’une éventuelle transition entre écoulements de suspensions et écoulements granulaires. Nous illustrons ces résultats par des simulations numériques.