A gluey particle model

Laboratoire de Mathématiques, Université Paris Sud, 91405 Orsay cedex.

Corresponding author: Bertrand.Maury@math.u-psud.fr

Abstract

We present here a new framework to handle the short-range interaction between rigid bodies in a viscous, incompressible fluid. This framework is built as the vanishing viscosity limit of a lubrication model. We restrict ourselves here to the case of a single particle and a rigid wall. Our approach is based on a standard first-order approximation for the lubrication force between two rigid bodies, where a small parameter ε plays the role of the underlying fluid viscosity. We establish convergence when ε goes to 0 of a subsequence of trajectories towards a solution to a problem of the hybrid type: it relies on two distincts states, unglued and glued, the latter being described by a new variable γ which expresses in a way the asymptotic smallness of the distance, and which plays the role of an adhesion potential. The limit problem has a surprising property: although it is well-posed in many situations, uniqueness does not generally hold as soon as left-hand clusters of contact times are allowed. Some prospective extensions of this model (other types of singularities, roughness of surfaces, macroscopic version) are proposed.

Résumé

Nous présentons ici un nouveau cadre pour gérer l'interaction à courte portée entre corps rigides baignant dans un fluide visqueux. Notre modèle est construit comme la limite à viscosité évanescente d'un modèle de lubrification. Nous nous restreignons ici au cas d'une sphère unique au voisinage d'une paroi plane. Le point de départ de notre approche est ainsi un modèle qui estime au premier ordre les forces de lubrification entre une sphère et un plan en quasi-contact, modèle dans lequel un petit paramètre ε joue le rôle de la viscosité du fluide environnant. Nous montrons la convergence, quand ε tend vers 0, d'une sous-suite de solutions vers une solution d'un problème de type hybride. Ce modèle limite se base sur la définition de deux états, libre et collé, ce dernier état étant décrit par une nouvelle variable γ qui représente d'une certaine manière la petitesse asymptotique de la distance, et qui joue le rôle d'un potentiel d'adhésion. Le problème limite jouit d'une propriété surprenante : bien qu'il soit bien posé dans un grand nombre de situations, on n'a pas unicité en général dès que l'on sort du cadre d'instants de contact isolés. Nous présentons pour finir des extensions possibles de ce travail (autres types de singularité, prise en compte de la rugosité, version macroscopique du modèle).