Deterministic walk on Poisson point process

Laboratoire Paul Painlevé Université Lille 1

Abstract

A deterministic walk on a Poisson point process in R^d is an oriented graph where each point of the process is connected to only one other point following a deterministic and stationary rule of connection. In the paper we investigate the absence of percolation for such graphs and our main result is based on two assumptions. The Loop assumption ensures that any forward branch of the graph merges on a loop provided that the Poisson point process is augmented with a finite collection of well-chosen points. The Shield assumption ensures that the graph is locally determined with possible random horizons. Among the models which satisfy these general assumptions and inherit in consequence the finite cluster property, we focus on the deterministic walk to the k-th neighbour, with k any integer greater than one.

Résumé

Une marche déterministe sur un processus ponctuel de Poisson de R^d consiste à connecter chaque point du processus à un et un seul autre en suivant une règle déterministe invariante par translation. Dans ce papier, nous donnons un résultat général d’absence de composante connexe infinie pour de tels graphes dès que le modèle vérifie deux hypothèses. La première hypothèse, appelée hypothèse Loop, garantit que les branches descendantes du graphe finissent par boucler du moment qu’une collection bien choisie de points est ajoutée au processus initial. La seconde, appelée hypothèse Shield, assure que le graphe est déterminé localement avec éventuellement un horizon de détermination aléatoire. Parmi tous les modèles satisfaisant ces deux hypothèses nous nous intéressons tout particulièrement à la marche déterministe au k-ième plus proche voisin, avec k un entier plus grand que un.